연속 확률 변수 | PromleeBlog

연속 확률 변수 (Continuous Random Variable) 🔗

무한한 범위의 값을 가질 수 있는 확률 변수

예시

버스가 도착하는
시간
주어진 시간 동안 파이프를 통해 흐르는 물의
양
무작위로 선택 된 사람의
키

성질

특정 값 $X = x$ 에 대해 확률은 0이다. $P(X = x) = 0$

확률 밀도 함수 (Probability Density Function, PDF) 🔗

연속 확률 변수의 경우 특정 값의 확률이 0이기 떄문에 확률 질량 함수를 사용할 수 없다.
따라서
확률 밀도 함수
(
PDF
)를 사용한다.

f_X(x)

: 연속적이고 비음수인 함수로서, 이 함수를

X

의

확률 밀도 함수

(PDF) 라고 한다.

예시 (확률 밀도 함수) 🔗

X

가 두 값

x_1

과

x_2

사이에 존재할 확률은

f_X(x)dx

로 나타낼 수 있다.

$P(x_1 < X < x_2) = \int_{x_1}^{x_2} f_X(x)dx$

더 일반적으로, 실선 상의 어떤 부분 집합

B

에 대하여

$P(X \in B) = \int_B f_X(x)dx$

확률 법칙과 PDF (Probability Laws and PDF) 🔗

f_X(x)

는

P(X=a)

가 아님을 유의

특정 값

a

에 대해,

P(X=a) = \int_a^a f_X(x)dx = 0

이다.

예를 들어, $P(X \leq a) = P(X<a) + P(X=a) = P(X<a)$ 를 의미

유효한 확률 법칙은

P(\Omega) = 1

및

P(A) > 0

을 만족해야 한다. - 이는 PDF와 유사

정규화를 위해: $\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x)dx = 1 \rightarrow$ 곡선 아래의 총 면적은 1이다
정규화를 위해: $f_X$ 는 비음수이므로, 모든 $B$ 에 대하여 $P(x \in B) = \int_{x \in B} f_X(x)dx \geq 0$ 이다

확률 변수 길이가

\delta

인 작은 구간

[x, x+\delta]

에 대한 확률은

f_X(x)\delta

이다.

$P(x \leq X \leq x+\delta) = \int_{x}^{x+\delta} f_X(x)dx \approx f_X(x)\delta$
이는 $f_X(x)$ 가 $x$ 에서의 밀도를 나타낸다.

PDF의 특성 (Properties of PDF) 🔗

X

를 PDF

f_X

를 가진 연속 확률 변수라고 하자.

$f_X(x) \geq 0$ for all $x$
$\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x)dx = 1$
$\delta$ 가 매우 작으면, $P([x, x+\delta]) \approx f_X(x)\cdot\delta$
임의의 실수 부분집합 $B$ 에 대하여, $P(X \in B) = \int_{x \in B} f_X(x)dx$

예시 🔗

f_X(x) = \begin{cases} 1 & \text{if } 0 \le x \le 1 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}

$P(X > 0.5) = \int_{0.5}^{1} f_X(x)dx = \int_{0.5}^{1} 1dx = 0.5$
$P(X > 1.5) = \int_{1.5}^{1} f_X(x)dx = \int_{1.5}^{1} 1dx = 0$
$P(X = 0.7) = \int_{0.7}^{0.7} f_X(x)dx = 0$

f_X(x) = \begin{cases} c & \text{if } a \le x \le b \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}

$c = \frac{1}{b-a}$

연속 확률 변수의 기대값 (Expectation of Continuous Random Variable) 🔗

이산 확률 변수의 경우 우리는 다음과 같은 식을 사용했다.

$E[X] = \sum_{x} x \cdot P_X(x)$

X

가 연속 확률 변수이고

f_X(x)

가

X

의 확률 밀도 함수라고 하자.

X

의 기대값은 다음과 같이 정의된다.

$E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f_X(x)dx$

예제 (연속 확률 변수의 기대값) 🔗

문제 🔗

X

가

[a, b]

구간에서의 균등 확률 변수라고 하자. 이때,

X

의 기댓값은 얼마인가?

해결 🔗

X

의 확률 밀도 함수는 다음과 같다.

f_X(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a} & \text{if } a \le x \le b \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}

X

의 기댓값은 다음과 같이 계산된다.

E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f_X(x)dx = \int_{a}^{b} x \cdot \frac{1}{b-a}dx = \frac{1}{b-a} \cdot \frac{1}{2} \cdot (b^2 - a^2) = \frac{a+b}{2}

따라서,

X

의 기댓값은

\frac{a+b}{2}

이다.

연속 확률 변수의 분산 (Variance of Continuous Random Variable) 🔗

이산 확률 변수의 경우 우리는 다음과 같은 식을 사용했다.

$Var[X] = \sum_{x} (x - E[X])^2 \cdot P_X(x)$

X

가 연속 확률 변수이고

f_X(x)

가

X

의 확률 밀도 함수라고 하자.

X

의 분산은 다음과 같이 정의된다.

$Var[X] = E[(X - E[X])^2] = \int_{-\infty}^{\infty} (x - E[X])^2 \cdot f_X(x)dx$

예제 (연속 확률 변수의 분산) 🔗

문제 🔗

X

가

[a, b]

구간에서의 균등 확률 변수라고 하자. 이때,

X

의 분산은 얼마인가?

해결 🔗

X

의 확률 밀도 함수는 다음과 같다.

f_X(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a} & \text{if } a \le x \le b \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}

X

의 분산은 다음과 같이 계산된다.

Var[X] = E[(X - E[X])^2] = \int_{-\infty}^{\infty} (x - E[X])^2 \cdot f_X(x)dx = \int_{a}^{b} (x - \frac{a+b}{2})^2 \cdot \frac{1}{b-a}dx = \frac{1}{b-a} \cdot \frac{1}{3} \cdot (b^3 - a^3) = \frac{(b-a)^2}{12}

따라서,

X

의 분산은

\frac{(b-a)^2}{12}

이다.

지수 확률 변수 (Exponential Random Variable) 🔗

지수 확률 변수의 확률 밀도 함수는 다음과 같다.

f_X(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} & \text{if } x \ge 0 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} \;\;\;\;\;\; E[X] = \frac{1}{\lambda}, \quad \text{var}(X) = \frac{1}{\lambda^2}

X

가 특정 값을 초과할 확률은 지수적으로 감소한다는 점에 유의하라

P(X \ge a) = \int_{a}^{\infty} \lambda e^{-\lambda x} \, dx = \left[ -e^{-\lambda x} \right]_{a}^{\infty} = e^{-\lambda a}

예시 (지수 확률 변수) 🔗

어떤 일이 일어날 때까지의 시간을 모델링하기 위해, 지수 확률 변수를 사용한다.

다음 이메일이 도착할 때까지의 시간
사고가 발생할 때까지의 시간
전구가 나갈 때까지의 시간

예제 (지수 확률 변수) 🔗

문제 🔗

사하라 사막 어디든 작은 운석이 처음 떨어질 때까지의 시간은 평균 10일의 지수 확률 변수로 모델링된다.

현재 시간은 자정이다.

첫날 오전 6시에서 오후 6시 사이에 운석이 처음 떨어질 확률은 얼마인가?

해결 🔗

X

를 운석이 처음 떨어지는 시간이라고 하자.

X

는 평균 10일의 지수 확률 변수이므로,

\lambda = \frac{1}{10}

이다.

첫날 오전 6시에서 오후 6시 사이에 운석이 처음 떨어질 확률은 다음과 같이 계산된다.

P(1/4 \le X \le 3/4) = P(X \le 1/4) - P(X \le 3/4) \\ = e^{-\frac{1}{10} \cdot 1/4} - e^{-\frac{1}{10} \cdot 3/4} = e^{-1/40} - e^{-3/40} \approx 0.0476

요약 (Summary) 🔗

연속 확률 변수

f_X(x) \geq 0

for all

x

\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x)dx = 1

\delta

가 매우 작을 때,

P([x, x+\delta]) \approx f_X(x)\cdot\delta

임의의 실수 부분집합

B

에 대하여,

P(X \in B) = \int_{B} f_X(x)dx

기대값

E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f_X(x)dx

분산

Var[X] = E[(X - E[X])^2] = \int_{-\infty}^{\infty} (x - E[X])^2 \cdot f_X(x)dx

추가 문제 🔗

문제 🔗

연속 확률 변수

X

의 기댓값이 다음을 만족함을 보여라

E[X] = \int_{0}^{\infty} P(X > x) \, dx - \int_{0}^{\infty} P(X < -x) \, dx

해결 🔗

\int P(X > x) \, dx = \int_{0}^{\infty} (\int_{x}^{\infty} f_X(y) \, dy) \, dx \\ = \int_{0}^{\infty} (\int_{0}^{y} f_X(y) \, dx) \, dy \\ = \int_{0}^{\infty} f_X(y) (\int_{0}^{y} \, dx) \, dy \\ = \int_{0}^{\infty} y \cdot f_X(y) \, dy

\int P(X < -x) \, dx = \int_0^\infty \left( \int_{-\infty}^{-x} f_X(y) \, dy \right) \, dx\\ = \int_{-\infty}^0 \left( \int_0^{-y} f_X(y) \, dx \right) \, dy\\ = \int_{-\infty}^0 f_X(y) \left( \int_0^{-y} \, dx \right) \, dy\\ = - \int_{-\infty}^0 y f_X(y) \, dy

따라서,

E[X] = \int_{0}^{\infty} y \cdot f_X(y) \, dy + \int_{-\infty}^0 y \cdot f_X(y) \, dy = \int_{-\infty}^{\infty} y \cdot f_X(y) \, dy

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문제 🔗

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문제 🔗

해결 🔗

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