연속 확률 변수

Continuous random variable

무한한 범위의 값을 가질 수 있는 확률 변수

• 버스가 도착하는
  시간
• 주어진 시간 동안 파이프를 통해 흐르는 물의
  양
• 무작위로 선택 된 사람의
  키

• 특정 값 $X = x$에 대해 확률은 0이다. $P(X = x) = 0$

연속 확률 변수의 경우 특정 값의 확률이 0이기 떄문에 확률 질량 함수를 사용할 수 없다.

따라서

확률 밀도 함수

(

PDF

)를 사용한다.

• $P(x_1 < X < x_2) = \int_{x_1}^{x_2} f_X(x)dx$
  

• $P(X \in B) = \int_B f_X(x)dx$
  

• 예를 들어, $P(X \leq a) = P(X<a) + P(X=a) = P(X<a)$를 의미

• 정규화를 위해: $\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x)dx = 1 \rightarrow$ 곡선 아래의 총 면적은 1이다
• 정규화를 위해: $f_X$는 비음수이므로, 모든 $B$에 대하여 $P(x \in B) = \int_{x \in B} f_X(x)dx \geq 0$ 이다

• $P(x \leq X \leq x+\delta) = \int_{x}^{x+\delta} f_X(x)dx \approx f_X(x)\delta$
• 이는 $f_X(x)$가 $x$에서의 밀도를 나타낸다.

• $f_X(x) \geq 0$ for all $x$
• $\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x)dx = 1$
• $\delta$가 매우 작으면, $P([x, x+\delta]) \approx f_X(x)\cdot\delta$
• 임의의 실수 부분집합 $B$에 대하여, $P(X \in B) = \int_{x \in B} f_X(x)dx$

• $P(X > 0.5) = \int_{0.5}^{1} f_X(x)dx = \int_{0.5}^{1} 1dx = 0.5$
• $P(X > 1.5) = \int_{1.5}^{1} f_X(x)dx = \int_{1.5}^{1} 1dx = 0$
• $P(X = 0.7) = \int_{0.7}^{0.7} f_X(x)dx = 0$

• $c = \frac{1}{b-a}$

• $E[X] = \sum_{x} x \cdot P_X(x)$

• $E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f_X(x)dx$

• $Var[X] = \sum_{x} (x - E[X])^2 \cdot P_X(x)$

• $Var[X] = E[(X - E[X])^2] = \int_{-\infty}^{\infty} (x - E[X])^2 \cdot f_X(x)dx$

• 다음 이메일이 도착할 때까지의 시간
• 사고가 발생할 때까지의 시간
• 전구가 나갈 때까지의 시간