임의 변수의 함수

🚀

임의 변수의 함수 (Function of a Random Variable) 🔗

X 가 임의 변수이고 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 이면 $Y = f(X)$ 도 확률 질량 함수(PMF)를 가지는 임의 변수이다.

P(Y = k) = P(f(X) = k) = \sum_{o \in \Omega \text{ such that } f(X(o))=k} P(o)

✅

예제 (임의 변수의 함수) 🔗

➡️

문제 🔗

Y = |X|

라고 하자. 이 경우 PMF

p_Y

에 대한 앞선 공식을 적용해 보자. X의 확률

p_X(x)

는 다음과 같다:

$p_X(x) = \frac{1}{9}$ (x가 [-4, 4] 범위 내의 정수일 경우)
그 외의 경우 $p_X(x) = 0$

➡️

해결 🔗

가능한

Y

의 값은 0, 1, 2, 3, 4이다.

$P(Y = 0) = P(X = 0) = \frac{1}{9}$
$P(Y = 1) = P(X = 1) + P(X = -1) = \frac{1}{9} + \frac{1}{9} = \frac{2}{9}$
$P(Y = 2) = P(X = 2) + P(X = -2) = \frac{1}{9} + \frac{1}{9} = \frac{2}{9}$
$P(Y = 3) = P(X = 3) + P(X = -3) = \frac{1}{9} + \frac{1}{9} = \frac{2}{9}$
$P(Y = 4) = P(X = 4) + P(X = -4) = \frac{1}{9} + \frac{1}{9} = \frac{2}{9}$
따라서 $Y$ 의 PMF는 다음과 같다:
$p_Y(y) = \frac{2}{9}$ (y = 1, 2, 3, 4인 경우)
$p_Y(y) = \frac{1}{9}$ (y = 0인 경우)
그 외의 경우 $p_Y(y) = 0$

🚀

기대값 (Expected Value) 🔗

임의 변수 $X$ 의 기대값은 $E[X] = \sum_{x \in \mathbb{R}} x \cdot P(X = x)$ 로 정의된다.
즉, $X$ 의 가능한 모든 값에 대해
확률 가중 평균
이다.

E[X]

는

X

의 기대값(expectation) 또는 평균(mean)이라고도 한다.

➡️

참고 (기대값) 🔗

E[\text{Binomial R.V(이항 분포 임의 변수)}] = n \cdot p = \text{(number of trials)} \cdot \text{(probability of success)}

✅

예제 1 (기대값) 🔗

➡️

문제 🔗

두 독립적인 동전 던지기를 고려하자.

각각의 동전 던지기에서 앞면이 나올 확률은 3/4이다.

X를 얻은 앞면의 수로 나타내는데, 이는 n = 2, p = 3/4의 매개변수를 가진 이항 분포 임의 변수이다.

그의 PMF(확률 질량 함수)는 다음과 같다:
- $p_X(k) = \binom{2}{k} \cdot (3/4)^k \cdot (1/4)^{2-k}$
- $p_X(k) = \begin{cases} (1/4)^2 & \text{if } k = 0, \\ 2 \cdot (1/4) \cdot (3/4) & \text{if } k = 1, \\ (3/4)^2 & \text{if } k = 2. \end{cases}$

X의 기대값은 무엇인가?

➡️

해결 🔗

E[X] = 0 \cdot (1/4)^2 + 1 \cdot 2 \cdot (1/4) \cdot (3/4) + 2 \cdot (3/4)^2 = \frac{24}{16} = \frac{3}{2}

✅

예제 2 (기대값) 🔗

➡️

문제 🔗

X가 {1, 2, 6}에 해당하고 각각의 확률이 다음과 같다고 하자:

$P(X = 1) = \frac{1}{3}$ , $P(X = 2) = \frac{1}{2}$ , $P(X = 6) = \frac{1}{6}$

X의 기대값은 무엇인가?

➡️

해결 🔗

E[X] = 1 \cdot \frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{1}{2} + 6 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{3} + 1 + 1 = \frac{7}{3} = 2.\overline{3}

🚀

기대값의 선형성 (Linearity of Expectation) 🔗

임의 변수 $X$ 와 $Y$ 에 대해 $E[X + Y] = E[X] + E[Y]$ 이다.

✅

예제 (기대값의 선형성) 🔗

➡️

문제 🔗

12개의 공정한 6면 주사위를 던진다. X를 "1"의 수로, Y를 "6"의 수로 하자. X + Y의 기대값은 얼마인가?

➡️

해결 🔗

E[X] = E[Y] = 12 \cdot \frac{1}{6} = 2

이므로

E[X + Y] = E[X] + E[Y] = 2 + 2 = 4

🚀

임의 변수 함수에 대한 기대값 규칙 (Expectation Rule for Functions of Random Variables) 🔗

임의 변수 $X$ 가 PMF $\;p_X(x)$ 를 가진 임의 변수일 때 함수 $Y = g(X)$ 에 대해
$E[Y] = E[g(X)] = \sum_{x \in \mathbb{R}} g(x) \cdot P(X = x)$ 이다.

E[X] = \sum_{x \in \mathbb{R}} x \cdot p_X(x)

\Rightarrow E[g(X)] = \sum_{x \in \mathbb{R}} g(x) \cdot p_X(x) \rightarrow

기대값 규칙

(Expectation Rule)

🚀

분산 (Variance) 🔗

임의 변수가 평균에서 얼마나 벗어나는지 측정
$var(X) = E[X^2] - E[X]^2 = E[(X - E[X])^2] = \sum_{x \in \mathbb{R}} (x - E[X])^2 \cdot p_X(x)$

표준편차

는 분산의 양의 제곱근이다.

\sigma_x = std(X) = \sqrt{var(X)}

✅

증명 (분산) 🔗

E[X] = \mu

(상수)

E[\mu] = \mu

E[\mu \cdot X] = \mu \cdot E[X] = \mu^2

E[(X - E[X])^2] = E[X^2 - 2 \cdot X \cdot E[X] + E[X]^2]

= E[X^2] - 2\mu \cdot E[X] + \mu^2 = E[X^2] - 2\mu^2 + \mu^2

= E[X^2] - \mu^2 = E[X^2] - E[X]^2

✅

예제 1 (분산) 🔗

➡️

문제 🔗

임의 변수 X를 고려하자. X는 다음과 같은 확률 질량 함수(PMF)를 가진다:

$p_X(x) = \frac{1}{9}$ (x가 [-4, 4] 범위 내의 정수인 경우)
그 외의 경우 $p_X(x) = 0$

X의 분산은 무엇인가?

➡️

해결 🔗

X의 기대값 E[X]는

E[X] = 0 \cdot \frac{1}{9} + 1 \cdot \frac{1}{9} + 2 \cdot \frac{1}{9} + 3 \cdot \frac{1}{9} + 4 \cdot \frac{1}{9} + (-1) \cdot \frac{1}{9} + (-2) \cdot \frac{1}{9} + (-3) \cdot \frac{1}{9} + (-4) \cdot \frac{1}{9} = 0

우리는

var(x) = E[(X-E[X])^2]

를 계산해야 한다.

Z = (X-E[X])^2 = X^2

라고 하자.

var(x) = E[(X-E[X])^2] = E[X^2] = E[Z] = \sum{Z \cdot p_Z(Z)}

X의 가능한 값: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4

Z의 가능한 값: 0, 1, 4, 9, 16

$P(Z = 0) = P(X = 0) = \frac{1}{9}$
$P(Z = 1) = P(X = 1) + P(X = -1) = \frac{1}{9} + \frac{1}{9} = \frac{2}{9}$
$P(Z = 4) = P(X = 2) + P(X = -2) = \frac{1}{9} + \frac{1}{9} = \frac{2}{9}$
$P(Z = 9) = P(X = 3) + P(X = -3) = \frac{1}{9} + \frac{1}{9} = \frac{2}{9}$
$P(Z = 16) = P(X = 4) + P(X = -4) = \frac{1}{9} + \frac{1}{9} = \frac{2}{9}$

따라서

var(X) = E[X^2] - E[X]^2 = 1 \cdot \frac{2}{9} + 4 \cdot \frac{2}{9} + 9 \cdot \frac{2}{9} + 16 \cdot \frac{2}{9} = \frac{2}{9} + \frac{8}{9} + \frac{18}{9} + \frac{32}{9} = \frac{60}{9} = \frac{20}{3}

✅

예제 2 (분산) 🔗

➡️

문제 🔗

임의 변수 X가 {1, 2, 6}의 값을 가지고, 각 값의 확률이

P(X = 1) = \frac{1}{3}

P(X = 2) = \frac{1}{3}

P(X = 6) = \frac{1}{3}

라고 하자.

X의 분산은 무엇인가?

➡️

해결 🔗

E[X] = 1 \cdot \frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{1}{3} + 6 \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} + 2 = \frac{9}{3} = 3

var(x) = E[(X-E[X])^2] = E[(X-3)^2] = 4 \cdot \frac{1}{3} + 1 \cdot \frac{1}{3} + 9 \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{3} + \frac{1}{3} + 3 = \frac{14}{3} = 4.\overline{6}

🚀

선형 함수의 임의 변수에 대한 기대값과 분산 (Expectation and Variance of Linear Functions of Random Variables) 🔗

임의 변수 $X$ 에 대한 선형 함수 $Y = aX + b$ 의 기대값과 분산은 다음과 같다:
$E[Y] = aE[X] + b$
$var(Y) = a^2var(X)$

✅

예제 (임의 변수 함수에 대한 기대값과 분산) 🔗

➡️

문제 🔗

Y = g(X) = aX + b

Y의 기대값은 얼마인가?
Y의 분산은 얼마인가?

➡️

해결 🔗

Y의 기대값
$E[Y] = E[aX + b] = E[g(x)] = \sum g(x) \cdot p_X(x)$
$= \sum (ax + b) \cdot p_X(x) = a \sum x \cdot p_X(x) + b \sum p_X(x) = aE[X] + b$
Y의 분산
$var(Y) = var(aX + b) = E[(aX + b - E[aX + b])^2]$
$= E[(aX + b - aE[X] - b)^2] = E[(aX - aE[X])^2] = E[a^2(X - E[X])^2]$
$= a^2E[(X - E[X])^2] = a^2var(X)$

🚀

요약 (Summary) 🔗

임의 변수의 기대값

(Expectation):

E[X] = \sum_{x \in \mathbb{R}} x \cdot p_X(x)

분산

(Variance):

var(X) = E[X^2] - E[X]^2 = E[(X - E[X])^2] = \sum_{x \in \mathbb{R}} (x - E[X])^2 \cdot p_X(x)

임의 변수 함수에 대한 기대값 규칙

(Expectation Rule for Functions of Random Variables):

E[g(X)] = \sum_{x \in \mathbb{R}} g(x) \cdot p_X(x)

선형 함수의 임의 변수에 대한 기대값과 분산

(Expectation and Variance of Linear Functions of Random Variables):

E[Y] = aE[X] + b

var(Y) = a^2var(X)

🚀

추가 문제 🔗

✅

문제 1 🔗

➡️

문제 🔗

X

가 0에서 9까지의 값을 가지며 각각의 값이 동일한 확률

1/10

로 선택되는 확률 변수라고 하자.

(

) 확률 변수

Y = X \mod(3)

의 확률 질량 함수(PMF)를 구하시오.

(

) 확률 변수

Z = 5 \mod(X + 1)

의 확률 질량 함수(PMF)를 구하시오.

➡️

해결 🔗

(

) 확률 변수

Y = X \mod(3)

의 확률 질량 함수(PMF)는 다음과 같다:

$P(Y = 0) = P(X = 0) + P(X = 3) + P(X = 6) + P(X = 9) = 4 \cdot \frac{1}{10} = \frac{2}{5}$
$P(Y = 1) = P(X = 1) + P(X = 4) + P(X = 7) = 3 \cdot \frac{1}{10} = \frac{3}{10}$
$P(Y = 2) = P(X = 2) + P(X = 5) + P(X = 8) = 3 \cdot \frac{1}{10} = \frac{3}{10}$

따라서

Y

의 확률 질량 함수(PMF)는 다음과 같다:

$p_Y(y) = \begin{cases} \frac{2}{5} & \text{if } y = 0, \\ \frac{3}{10} & \text{if } y = 1, 2, \\ 0 & \text{otherwise}. \end{cases}$

(

) 확률 변수

Z = 5 \mod(X + 1)

의 확률 질량 함수(PMF)는 다음과 같다:

$P(Z = 0) = P(X = 0) + P(X = 4) = 2 \cdot \frac{1}{10} = \frac{1}{5}$
$P(Z = 1) = P(X = 1) + P(X = 3) = 2 \cdot \frac{1}{10} = \frac{1}{5}$
$P(Z = 2) = P(X = 2) = \frac110
$P(Z = 5) = P(X = 5) + P(X = 6) + P(X = 7) + P(X = 8) + P(X = 9) = 5 \cdot \frac{1}{10} = \frac{1}{2}$

따라서

Z

의 확률 질량 함수(PMF)는 다음과 같다:

$p_Z(z) = \begin{cases} \frac{1}{5} & \text{if } z = 0, 1, \\ \frac{1}{10} & \text{if } z = 2, \\ \frac{1}{2} & \text{if } z = 5, \\ 0 & \text{otherwise}. \end{cases}$

✅

문제 2 🔗

➡️

문제 🔗

확률 질량 함수(PMF)

p_X(x)

를 다음과 같이 갖는 확률 변수

X

를 고려하시오.

p_X(x) =\begin{cases} \frac{x^2}{a} & \text{if } x = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 \\ 0 & \text{otherwise}\end{cases}

(a)

a

와

E[X]

를 구하시오.

(b) 확률 변수

z = (x - E[X])^2

의 확률 질량 함수(PMF)를 구하시오.

X

의 분산을 계산하시오.

(d) 기대값 규칙 공식을 이용하여

X

의 분산을 계산하시오.

Var(X) = \sum_x (x - E[X])^2 p_X(x)

➡️

해결 🔗

(

)

$a$ 와 $E[X]$ 구하기
$\sum_{x=-3}^{3} \frac{x^2}{a} = 1$
$\frac{(-3)^2}{a} + \frac{(-2)^2}{a} + \frac{(-1)^2}{a} + \frac{0^2}{a} + \frac{1^2}{a} + \frac{2^2}{a} + \frac{3^2}{a} = 1$
$\frac{9}{a} + \frac{4}{a} + \frac{1}{a} + 0 + \frac{1}{a} + \frac{4}{a} + \frac{9}{a} = 1$
$\frac{28}{a} = 1$
$a = 28$
$E[X]$ 구하기
$E[X] = \sum_{x=-3}^{3} x \cdot p_X(x)$
$p_X(x) = \frac{x^2}{28}$
$E[X] = \sum_{x=-3}^{3} x \cdot \frac{x^2}{28}$
$E[X] = \frac{1}{28} [(-3)^3 + (-2)^3 + (-1)^3 + 0 + 1^3 + 2^3 + 3^3]$
$E[X] = \frac{1}{28} [-27 - 8 - 1 + 0 + 1 + 8 + 27]$
$E[X] = \frac{1}{28} [0] = 0$

(

) 확률 변수

z = (x - E[X])^2

의 확률 질량 함수(PMF) 구하기

$z = (x - 0)^2 = x^2$
가능한 값:
- $x^2 = 0, 1, 4, 9$
각 값의 확률:
- $P(z=0) = P(x=0) = \frac{0^2}{28} = 0$
- $P(z=1) = P(x=1 \text{ 또는 } x=-1) = 2 \cdot \frac{1}{28} = \frac{2}{28} = \frac{1}{14}$
- $P(z=4) = P(x=2 \text{ 또는 } x=-2) = 2 \cdot \frac{4}{28} = \frac{8}{28} = \frac{2}{7}$
- $P(z=9) = P(x=3 \text{ 또는 } x=-3) = 2 \cdot \frac{9}{28} = \frac{18}{28} = \frac{9}{14}$

따라서 $z$ 의 PMF는 다음과 같다:
$P_Z(z) =\begin{cases} \frac{1}{14} & \text{if } z = 1 \\ \frac{2}{7} & \text{if } z = 4 \\ \frac{9}{14} & \text{if } z = 9 \\ 0 & \text{otherwise}\end{cases}$

(

) (b)를 이용한

X

의 분산 계산

$Var(X) = E[(X - E[X])^2] = E[Z] = \sum_{z=1, 4, 9} z \cdot p_Z(z)$
$Var(X) = 1 \cdot \frac{1}{14} + 4 \cdot \frac{2}{7} + 9 \cdot \frac{9}{14}$
$Var(X) = \frac{1}{14} + \frac{8}{7} + \frac{81}{14}$
$Var(X) = \frac{1}{14} + \frac{16}{14} + \frac{81}{14}$
$Var(X) = \frac{98}{14} = 7$

(

) 기대값 규칙 공식을 이용한 분산 계산

분산 $Var(X)$ 계산
:
$Var(X) = \sum_{x \in \mathbb{R}} (x - E[X])^2 \cdot p_X(x)\\ = 1^2 \cdot (p_X(-1)+p_X(1)) + 2^2 \cdot (p_X(-2)+p_X(2)) + 3^2 \cdot (p_X(-3)+p_X(3))\\ = 1^2 \cdot \left(\frac{1}{28}+\frac{1}{28}\right) + 2^2 \cdot \left(\frac{4}{28}+\frac{4}{28}\right) + 3^2 \cdot \left(\frac{9}{28}+\frac{9}{28}\right)\\ = 1^2 \cdot \frac{2}{28} + 2^2 \cdot \frac{8}{28} + 3^2 \cdot \frac{18}{28}\\ = \frac{2}{28} + \frac{32}{28} + \frac{162}{28}\\ = \frac{196}{28} = 7$

따라서, (c)와 (d)에서 계산한

X

의 분산은 동일하게 7이다.

추천 포스트

임의 변수의 함수Function of Random Variables