확률 변수의 독립성

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확률 변수의 독립 (Independence of Random Variables) 🔗

두 확률 변수 $X$ 와 $Y$ 가 서로 독립일 때,
$p_{X,Y}(x, y) = p_X(x) \cdot p_Y(y)\;\;\; \forall x, y$

독립은 다음과 같은 조건과 동등하다.

p_{X, Y}(x|y) = p_X(x)\;\;\; \forall y \text{ with } p_Y(y) > 0 \text{ and } \forall x

conditional PMF = marginal PMF (

X

와

Y

가 서로 독립일 때)

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예제 (확률 변수의 독립) 🔗

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문제 🔗

12개의 공정한 6면체 주사위를 던진다.

X

는 '1'이 나온 개수이고

Y

는 '6'이 나온 개수라고 하자.

X

와

Y

는 독립인가?

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해결 🔗

$P(X=12, Y=12) = 0 \neq P(X=12) \cdot P(Y=12)$ 임을 증명

X, Y

: binomial random variable (n = 12, p = 1/6)

P(X = k) = \binom{12}{k} \left(\frac{1}{6}\right)^k \left(\frac{5}{6}\right)^{12-k}

P(X = 12) = \left(\frac{1}{6}\right)^{12}

P(Y = 12) = \left(\frac{1}{6}\right)^{12}

답:

X

와

Y

는 독립이 아니다.

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독립 변수의 기대값 (Expectation of Independent Random Variables) 🔗

$X$ 와 $Y$ 가 서로 독립이면, $E[XY] = E[X] \cdot E[Y]$ 이다.

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증명 🔗

E[XY] = \sum_{x}\sum_{y}xy\cdot p_{X,Y}(x, y) \\ = \sum_{x}\sum_{y}xy\cdot p_X(x)\cdot p_Y(y) \\ = \sum_{x}xp_X(x)\sum_{y}yp_Y(y) \\ = E[X] \cdot E[Y]

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예제 (독립 변수의 기대값) 🔗

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문제 🔗

X

와

Y

가 다음과 같은 결합 확률 질량 함수(PMF)를 가진다고 가정하자:

$X$ \ $Y$	-1	0	1
0	0	$\frac{1}{2}$	0
1	$\frac{1}{4}$	0	$\frac{1}{4}$

E[X]

E[Y]

E[XY]

를 구하라.

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해결 🔗

주변 분포(marginal distribution)를 구하고, 독립인지 확인한다.

E[X] = \sum xP_X(x) = 0 \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

E[Y] = \sum yP_Y(y) = -1 \cdot \frac{1}{4} + 0 \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{4} = 0

E[XY] = E[X] \cdot E[Y] = \frac{1}{2} \cdot 0 = 0

답

E[X] = \frac{1}{2}

E[Y] = 0

E[XY] = 0

X, Y

는 독립이다.

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독립 변수의 분산 (Variance of Independent Random Variables) 🔗

독립인 두 변수 $X, Y$ 가 $Z = X + Y$ 를 만족할 때, $Var(Z) = Var(X) + Var(Y)$ 이다.

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증명 🔗

Var(Z) = E[(X+Y-E[X+Y])^2]\\ = E[(X+Y-E[X]-E[Y])^2]\\ = E[((X-E[X]) + (Y-E[Y]))^2] \\ = E[(X-E[X])^2] + 2E[(X-E[X])(Y-E[Y])] + E[(Y-E[Y])^2] \\ = Var(X) + 0 + Var(Y)

(

2E[(X-E[X])(Y-E[Y])] = \\ E[XY - XE[Y] - YE[X] + E[X]E[Y]] = \\ E[XY] - E[X]E[Y] - E[Y]E[X] + E[X]E[Y] = 0

)

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예제 (독립 변수의 분산) 🔗

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문제 🔗

X

와

Y

가 독립이며

\text{Var}(X) = 3

이고

\text{Var}(Y) = 5

라고 가정하자.

다음을 구하시오:

$\text{Var}(X + Y)$
$\text{Var}(3X + 4)$
$\text{Var}(X + X)$
$\text{Var}(X + 3Y)$

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해결 🔗

$\text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) = 3 + 5 = 8$
$\text{Var}(3X + 4) = 3^2\text{Var}(X) = 9 \cdot 3 = 27$
$\text{Var}(X + X) = 2^2\text{Var}(X) = 4 \cdot 3 = 12$
$\text{Var}(X + 3Y) = \text{Var}(X) + 3^2\text{Var}(Y) = 3 + 9 \cdot 5 = 48$

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요약 (Summary) 🔗

두 확률 변수

X

와

Y

가 서로 독립이면,

p_{X,Y}(x, y) = p_X(x) \cdot p_Y(y)

이다.

두 확률 변수

X

와

Y

가 서로 독립이면,

E[XY] = E[X] \cdot E[Y]

이다.

두 확률 변수

X

와

Y

가 서로 독립이면,

Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)

이다.

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추가 문제 🔗

➡️

문제 🔗

X

와

Y

가 독립적이며 동일하게 분포된 기하 확률 변수라고 가정하자.

여기서 매개변수는

p

이다.

다음을 증명하시오:

P(X = i \mid X + Y = n) = \frac{1}{n-1}, \quad i = 1, \ldots, n-1

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해결 🔗

P(X = i \mid X + Y = n)

는

n

번째 던짐에서 두 번째로 앞면이 나왔을 때,

i

번째 던짐에서 첫 번째로 앞면이 나왔을 확률로 해석할 수 있다.

직관적으로

n

번째 던짐에서 두 번째로 앞면이 나온 경우, 첫 번째 앞면이

1

에서

n-1

사이의 어떤 던짐에서 나왔을 가능성이 동일하다.

이를 정확히 수학적으로 증명하기 위해 다음을 고려하자:

P(X = i \mid X + Y = n) = \frac{P(X = i \text{ and } X + Y = n)}{P(X + Y = n)} = \frac{P(X = i)P(Y = n - i)}{P(X + Y = n)}

또한,

P(X = i) = p(1-p)^{i-1}

(

i \geq 1

)이고,

P(Y = n - i) = p(1-p)^{n-i-1}

(

n - i \geq 1

)이다.

따라서,

P(X = i)P(Y = n - i) = p^2(1 - p)^{n-2}

(

i = 1, \ldots, n-1

)이고, 그 외의 경우는 0이다.

따라서,

P(X = i \mid X + Y = n) = P(X = j \mid X + Y = n)

는

i

와

j

가

1

에서

n-1

사이의 어떤 값이든 동일하다.

P(X = i \mid X + Y = n) = \frac{1}{n-1}, \quad i = 1, \ldots, n-1

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