신호 공간

Signal Space

• 신호 공간: 신호를 N차원 벡터로 표현하는 공간
• Constallation(별자리)이라고도 함

• 신호를 벡터로 변환하고 그 반대의 과정을 가능하게 함
• 신호 간
  에너지
  와
  유클리드 거리
  를 구할 수 있다.

• 감지 목적: 수신된 신호를 벡터로 변환
• 수신된 신호와
  최소 거리
  에 있는 신호를 전송된 신호로 추정함

• $S_1(t) = a_{11}\psi_1(t) + a_{12}\psi_2(t) \Leftrightarrow S_1 = (a_{11}, a_{12})$
• $S_2(t) = a_{21}\psi_1(t) + a_{22}\psi_2(t) \Leftrightarrow S_2 = (a_{21}, a_{22})$
• $S_3(t) = a_{31}\psi_1(t) + a_{32}\psi_2(t) \Leftrightarrow S_3 = (a_{31}, a_{32})$

• $Z(t) = Z_1\psi_1(t) + Z_2\psi_2(t) \leftrightarrow Z = (Z_1, Z_2)$
• $Z$ 벡터와 각 $S_i$ 벡터 사이의 거리를 계산하여, 수신된 신호가 전송된 신호와 얼마나 가까운지 판단
• 거리가 가장 작은 $S_i$를 전송된 신호로 추정

• 내적(스칼라 곱)

  : $\langle x(t), y(t) \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) y^*(t) dt$는 $x(t)$와 $y(t)$ 간의 교차 상관 관계를 나타낸다.
  • $y^*(t)$는 $y(t)$의 켤레 복소수
  내적의 성질:
  • $\langle ax(t), y(t) \rangle = a \langle x(t), y(t) \rangle$
  • $\langle x(t), ay(t) \rangle = a^* \langle x(t), y(t) \rangle$
  • $\langle x(t) + y(t), z(t) \rangle = \langle x(t), z(t) \rangle + \langle y(t), z(t) \rangle$

• 신호의 norm
  :
  $\|x(t)\| = \sqrt{\langle x(t), x(t) \rangle} = \sqrt{\int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 dt} = \sqrt{E_x} = x(t)$의
  길이
  $\|ax(t)\| = |a|\|x(t)\|$
• 두 신호 간의 norm
  :
  $d_{x,y} = \|x(t) - y(t)\|$
  두 신호 사이의 거리를
  유클리드 거리
  라고 한다.

• $d_{S_i,Z} = \|s_i(t) - z(t)\| = \sqrt{(a_{i1} - z_1)^2 + (a_{i2} - z_2)^2}$
• $i = 1, 2, 3$

• 모든 $K_i = 1$이면, 신호 공간은
  정규 직교
  (orthonormal)이다.
• 비정규 직교 세트로부터 정규 직교 기저를 구성하는 방법:
  • 그램-슈미트 방법론 사용

• $\langle \psi_1(t), \psi_2(t) \rangle = \int_0^T \psi_1(t)\psi_2(t) dt = 0$
• $|\psi_1(t)| = |\psi_2(t)| = 1$ $\rightarrow$ 반각공식 사용

• $\psi_1(t) = \frac{1}{\sqrt{T}}$ (0부터 T까지 일정한 값)
• $|\psi_1(t)| = 1$ (정규화)

• $s_i(t) = \sum_{j=1}^N a_{ij} \psi_j(t) (i=1, ..., M; N \leq M)$

• $a_{ij} = \frac{1}{K_j} \langle s_i(t), \psi_j(t) \rangle = \frac{1}{K_j} \int_0^T s_i(t) \psi_j(t) dt$ $(j=1, ..., N; i=1, ..., M)$
  • $s_i = (a_{i1}, a_{i2}, ..., a_{iN})$는 파형의 벡터 표현이다.
  • 파형 에너지 $E_i = \sum_{j=1}^N K_j |a_{ij}|^2$

AM(진폭 변조)과 PSK(위상 변조)의 조합으로, 진폭과 위상을 동시에 변조하는 방식